Центральная предельная теорема
Гауссиан обладает еще одним важным свойством, которое здесь не доказывается. Для семейства функций, представляющих практический интерес, многократная свертка любого члена этого семейства функций с самим собой дает гауссиан? и получить произведение двух одномерных гауссианов. В общем случае, функция f(x,y)t которая раскладывается на f(x,y) — g{x)h(y), называется тензорным произведением. Обычно ядра фильтров, которые являются тензорными произведениями, называют разделяющимися ядрами. Данное свойство крайне полезно.
В частности, свертка с разделяющимся ядром фильтра эквивалентна свертке с двумя одномерными ядрами — по направлению а; и по направлению у.
Разделяющимися являются и многие другие ядра. Разделяющиеся ядра фильтров дают дискретные представления, которые также можно разделять.
Это свойство можно определить с помощью методов численной линейной алгебры, поскольку ранг матрицы Н должен равняться единице. В коммерческих пакетах для выполнения сверток перед применением ядра к изображению его часто проверяют на разделяемость. Это выгодно в тех случаях, когда ядро оказывается неразделяемым. Многие ядра можно выгодно аппроксимировать суммой разделяемых ядер. Если число ядер мало, то такая аппроксимация позволяет хорошо сэкономить на свертках. Эта стратегия особенно привлекательна тогда, когда необходимо свернуть изображение со многими различными фильтрами; в таком случае стараются представить каждое из этих ядер как взвешенную сумму разделяемых ядер, которые являются тензорными произведениями небольшого количества базисных элементов. После этого можно сворачивать изображения с базисными элементами, а затем формировать различные взвешенные суммы с целью свертки изображения с различными фильтрами.
Наложение в передискретизованных гауссианах
Исследование наложения позволяет глубже изучить доступные параметры сглаживания. Любое практически используемое гауссово ядро является дискретным приближением гауссиана, дискретизованного по сетке в один пиксель. Это означает, что для того чтобы исходное ядро можно было восстановить по его дискретному приближению, оно не должно содержать элементов с пространственной частотой, превышающей 0,5 пиксель-1. Для гауссиана это невозможно, поскольку его Фурье-преобразование также является гауссианом, следовательно, имеет неограниченную полосу частот. Все, что можно сделать, — принять, что энергия в накладываемом сигнале не должна превышать некоторого порогового значения — здесь, в свою очередь, подразумевается, что существует минимальное значение о, доступное для фильтра сглаживания на дискретной сетке.